Euclides

Euclides foi um matemático grego, considerado o pai da Geometria. Escreveu o livro "Elementos", sua grande obra. Foi professor de Matemática na Escola Real de Alexandria, no Egito.

Euclides, também conhecido por Euclides de Alexandria, nasceu na Grécia, durante o século III a.C. Viveu em Alexandria, no Egito, quando a cidade era o centro do saber da época.

Muito antes de Euclides a geometria já era assunto no Egito. Era usada para medir terrenos e projetar pirâmides. Tão famosa era a geometria egípcia, que matemáticos gregos como Tales de Mileto e Pitágoras, iam ao Egito para ver o que havia de novo em matéria de linhas e ângulos.

Embora sejam escassos os dados sobre a vida de Euclides, sabe-se que ele lecionou na Escola Real de Alexandria, durante o reinado de Ptolomeu I (306-283 a.C.). Foi com Euclides que a geometria do Egito se tornou importante fazendo de Alexandria o centro mundial do compasso e do esquadro.

Elementos de Euclides

Euclides escreveu sua grande obra: “Elementos”, um livro com 13 volumes, constitui um dos mais notáveis compêndios de matemática de todos os tempos. Na época de Arquimedes e entre os gregos e os romanos, durante toda a Idade Média e até o Renascimento, era o livro básico para o estudo da geometria.

Euclides é com razão chamado “o pai da Geometria”. Na obra, ele reuniu em um sistema coerente e compreensível, tudo o que se sabia sobre matemática em seu tempo. Todos os fragmentos surgiram da necessidade prática do uso da aritmética, geometria plana, teoria das proporções e geometria sólida. 

Embora os Elementos contenham grande número de teoremas já demonstrados nas obras de Arquimedes, Tales de Mileto, Pitágoras, Platão e outros autores, coube a Euclides o mérito de apresentar uma sistematização dos conhecimentos geométricos dos antigos com grande clareza e o encadeamento lógico dos teoremas.

Euclides reuniu em um sistema coerente, compreensível e muito bem desenvolvido, todas as ideias geométricas então conhecidas, formando um sistema que permitia combinar todos os fatos desenvolvidos para completar lacunas e dar coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado.

No primeiro livro, Euclides inclui além de inúmeras definições, os cinco famosos postulados e os quatro axiomas, bem como várias propriedades das paralelas e das perpendiculares. Estuda os triângulos e desenvolve importantes considerações sobre o teorema de Pitágoras.

O segundo livro, que contém 14 proposições, trata das relações entre as áreas dos quadrados e dos retângulos, estabelecendo importantes propriedades relacionadas com o quadrado de soma de dois números, o produto da soma pela diferença etc.

Os terceiro e quarto livros contêm demonstrações das principais propriedades dos círculos, dos ângulos inscritos, dos polígonos inscritos e circunscritos etc.

Nos livros quinto e sexto, Euclides apresenta importantes conceitos sobre a teoria das proporções, sob seu aspecto mais geral, e aplica-a à geometria plana. Estabelece diferentes processos para a solução dos problemas das áreas das figuras geométricas planas, já anteriormente estudadas pelos pitagóricos, e estuda a equação do segundo grau em sua forma mais geral.

Nos livros sétimo, oitavo e nono, dedicados à teoria dos números, examina os números primos, introduz o famoso algoritmo para a determinação do máximo divisor comum, estuda os processos de fatoração etc.

O décimo livro, que tem sido considerado o mais perfeito, contém o famoso enunciado em que se baseia o método de exaustão e é todo ele dedicado aos números irracionais.

Os três últimos livros, dedicados à geometria no espaço, incluem importantes demonstrações dos volumes dos paralelepípedos, das pirâmides e da esfera, estudam as propriedades da divisão de um seguimento em média e extrema razão, estabelecendo as principais relações entre os volumes dos cinco sólidos regulares (cubo, dodecaedro, icosaedro, tetraedro e octaedro) etc.

Postulado das Paralelas

Euclides demonstrou certo número de leis que serviram de base para demonstração da verdade de todas as demais leis geométricas.

Ao primeiro grupo de leis geométricas que tomou como premissas básicas dos raciocínios posteriores, Euclides denominou Postulados. Os cinco postulados de Euclides são:

1. Uma linha reta pode ser traçada de um para outro ponto qualquer,
2. Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente para constituir uma reta,
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo de centro naquele ponto e raio igual à distância dada,
4. Todos os ângulos retor são iguais entre si,
5. Se uma reta cortar duas outras retas, de modo que a soma dos dois ângulos interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois ângulos retos, as duas retas referidas, quando suficientemente prolongadas, se cruzarão do lado da primeira reta em que se acham os ângulos mencionados.

Axiomas de Euclides

Ao grupo de leis demonstradas a partir dos postulados, Euclides chamou de teoremas e proposições. Para construir seu sistema, ele recorreu ainda a princípios básicos que chamou de axiomas, ou noções comuns, os quais diferem dos postulados pelo caráter mais gerais que revestem. São eles:

1. Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si,
2. Se parcelas iguais forem adicionadas a quantidades iguais, os resultados são iguais,
3. Se parcelas iguais forem subtraídas de quantidades iguais, os resultados são iguais,
4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais,
5. O todo é maior do que a parte.

Outros trabalhos

Euclides deixou trabalhos extensos sobre óptica, acústica, consonância e dissonância. Os escritos sobre o assunto podem ser considerados os primeiros tratados conhecidos sobre harmonia musical.

Dos ensinamentos de Euclides dependem o estudo da mecânica, do som, da luz, da navegação, da ciência atômica, da biologia, da medicina, enfim de vários ramos da ciência e da tecnologia.